Login no Mysql pelo Linux - Access denied for user: 'root@localhost'

Existem duas principais formas para entrar no Mysql:

Após a instalação, antes de ser dada a senha para o root:

mysql -u root

Após a instalação, após ser dada uma senha para o root:

mysql -u root -p

O Linux vai perguntar a senha dada ao root.

Então selecione o banco mysql:

mysql> use mysql;

mysql> Update user set password=PASSWORD("senha para o root") where user = 'root';